Question

（2012•閔行區(qū)二模）已知：如圖，AB⊥BC，AD∥BC，AB=3，AD=2．點P在線段AB上，連接PD，過點D作PD的垂線，與BC相交于點C．設線段AP的長為x．

（1）當AP=AD時，求線段PC的長；
（2）設△PDC的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（3）當△APD∽△DPC時，求線段BC的長．

Answer 1

分析：（1）過C作CE垂直于AE，交AD的延長線于E點，在由AB垂直于BC，PD垂直于CD，以及AD平行于BC，得到三個角為直角，再由AD與BC平行，利用兩直線平行同旁內角互補得到∠BAC為直角，利用三個角為直角的四邊形是矩形得到ABCE為矩形，根據矩形的對邊相等可得出CE=AB=3，利用同角的余角相等的一對角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形ADP與三角形DEC相似，由相似得比例，將AD與AP的長代入，得到DE=CE=3，在直角三角形ADP與直角三角形DEC中，分別利用勾股定理求出DP與DC的長，在直角三角形PDC中，利用勾股定理即可求出PC的長；
（2）在直角三角形APD中，由AP=x，AD=2，利用勾股定理表示出PD，再由三角形ADP與三角形DEC相似，由相似得比例，將AD與CE的長代入，根據表示出的PD表示出DC，根據三角形PDC為直角三角形，利用兩直角邊乘積的一半，即可表示出三角形PDC的面積，以及此時x的范圍；
（3）當三角形APD相似于三角形DPC時，即得三角形APD，三角形DPC，以及三角形DCE都相似，分兩種情況考慮：
（i）當點P與點B不重合時，可得出∠APD=∠DPC，由三角形APD與三角形DCE相似得比例，再由三角形APD與三角形DPC相似得比例，將比例式變形后相等，可得出DE=AD，由AD的長得出DE的長，根據AD+DE=AE求出AE的長，再由ABCE為矩形，可得出BC=AE，即可得到BC的長；（ii）當點P與點B重合時，如圖所示∠ABD=∠DBC，再由AD與BC平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，等量代換并利用等角對等邊得到AB=AD，為AB與AD不相等，故此種情況不存在，綜上，得到滿足題意的BC的長．

解答：解：（1）過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E，

∵AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD∥BC，
∴∠ABC=∠AEC=∠PDC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠BAE+∠ABC=180°，又∠ABC=90°，
∴∠BAE=90°，
∴四邊形ABCE為矩形，又AB=3，
∴CE=AB=3，
又∵∠ADP+∠EDC=90°，且∠DCE+∠EDC=90°，
∴∠ADP=∠DCE，又∠BAD=∠DEC=90°，
∴△APD∽△DCE，
∴

AD

CE

=

AP

DE

，
由AP=AD=2，CE=3，得：DE=CE=3，
在Rt△APD和Rt△DCE中，
根據勾股定理得：PD=

AP2+AD2

=2

2

，CD=

DE2+DC2

=3

2

，
在Rt△PDC中，根據勾股定理得：
PC=

PD2+CD2

=

8+18

=

26

；
（2）在Rt△APD中，由AD=2，AP=x，
根據勾股定理得：PD=

x2+4

，
∵△APD∽△DCE，且CE=3，AD=2，
∴

AD

CE

=

PD

CD

=

2

3

，
∴CD=

3

2

PD=

3

2

x2+4

，
在Rt△PCD中，S_△PCD=

1

2

PD•CD=

1

2

×

x2+4

×

3

2

x2+4

，
∴所求函數解析式為y=

3

4

x²+3，此時函數的定義域為0≤x≤3；
（3）當△APD∽△DPC時，即得△APD∽△DPC∽△DCE，
根據題意，當△APD與△DPC相似時，有下列兩種情況：
（i）當點P與點B不重合時，可知∠APD=∠DPC，
由△APD∽△EDC，得

AP

DE

=

PD

DC

，即

AP

PD

=

DE

CD

，
由△APD∽△DPC，得

AP

PD

=

AD

DC

，
∴

AD

CD

=

DE

CD

，又AD=2，
∴DE=AD=2，
∴AE=AD+DE=4，
又∵∠ABC=∠BAE=∠AEC=90°，
∴四邊形ABCE是矩形，
∴BC=AE=4；
（ii）當點P與點B重合時，可知∠ABD=∠DBC，
又AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
而AD=2，AB=3，即AD≠AB，
故此種情況不存在．

綜上，當△APD∽△DPC時，線段BC的長為4．

點評：此題考查了相似綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，以及勾股定理，利用了數形結合及分類討論的思想，靈活運用相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．