Question

8．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABD=∠CBD=60°，AC與BD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作⊙O的切線，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．
（1）判斷△ACD的形狀，并加以證明
（2）若CF=2，DE=4，求弦CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=DE=4，CE=CF=2，根據(jù)切線的性質(zhì)得到FC²=FB•AF，求得FB=1根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

解答 解：（1）∵∠ABD=∠CBD=60°，
∴∠CAD=∠CBD=60°，∠ACD=∠ABD=60°，
∴△ACD是等邊三角形；

（2）在△ACF與△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠FAC}\\{∠ACF=∠ACD}\\{AC=CD}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△DCE，
∴AF=DE=4，CE=CF=2，
∵CF是⊙O的切線，
∴FC²=FB•AF，
∴2²=FB•4，
∴FB=1
∴AB=AF-BF=4-1=3，
∵∠ABE=∠DCE，∠BAE=∠CDE，
∴△∠ABE∽∠DCE，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{CD-CE}{CE}$，
∴$\frac{3}{CD}$=$\frac{CD-2}{2}$，
解得：CD=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．