Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，連接BD．

（1）求證：∠A＝∠CBD．

（2）若AB＝10，AD＝6，M為線段BC上一點，請寫出一個BM的值，使得直線DM與⊙O相切，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BM＝，理由見解析．

【解析】

（1）利用圓周角定理得到∠ADB＝90°，然后就利用等角的余角相等得到結論；

（2）如圖，連接OD，DM，先計算出BD＝8，OA＝5，再證明Rt△CBD∽Rt△BAD，利用相似比得到BC＝，取BC的中點M，連接DM、OD，如圖，證明∠2＝∠4得到∠ODM＝90°，根據切線的判定定理可確定DM為⊙O的切線，然后計算BM的長即可．

（1）∵AB為⊙O直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠A+∠ABD＝90°．

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBD+∠ABD＝90°，

∴∠A＝∠CBD；

（2）BM＝．

理由如下：

如圖，連接OD，DM，

∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6，

∴BD＝＝8，OA＝5，

∵∠A＝∠CBD，

∵Rt△CBD∽Rt△BAD，

∴＝，即＝，解得BC＝

取BC的中點M，連接DM、OD，如圖，

∵DM為Rt△BCD斜邊BC的中線，

∴DM＝BM，

∵∠2＝∠4，

∵OB＝OD，

∴∠1＝∠3，

∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠ODM＝90°，

∴OD⊥DM，

∴DM為⊙O的切線，

此時BM＝BC＝．