Question

如圖，△BOA是邊長為2的等邊三角形，OC=AC，∠OCA=120°，點M在OB邊上，連接CM，將CM繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，交AB于點N，連接MN，則△BMN的周長是

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：由旋轉(zhuǎn)可知CM=CN，結(jié)合條件可證明△OMC≌△ANC，可證明△AMN為等邊三角形，且可求得OM的長，可求得答案．

解答：解：∵OC=AC，∠OCA=120°，
∴∠COA=∠CAO=30°，
又∵△BOA為等邊三角形，
∴∠BOA=∠BAO=60°，
∴∠MOC=∠NAC=90°，
在Rt△OCM和Rt△ACN中，

CM=CN OC=OA

，
∴△OCM≌△ACN（HL），
∴OM=AN，∠MCO=NCA=30°，
∴BM=BN，
∴△AMN為等邊三角形，
在△OAC中，OA=2，可求得OC=

2 3

3

，
在Rt△MOC中可求得OM=

2

3

，
∴BM=BO-OM=2-

2

3

=

4

3

，
∴△BMN的周長為4．
故答案為：4．

點評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷出△BMN為等邊三角形是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理的應(yīng)用．