Question

4．如圖所示，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A在正方形ABCD的內(nèi)部作∠EAF=45°，E、F分別在BC、CD上，連接EF，作AH⊥EF于點(diǎn)H
求證：AH=AB．

Answer 1

分析 將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DF=BG，AF=AG，∠DAF=∠BAG，然后求出∠EAF=∠EAG=45°，再利用“邊角邊”證明△AEF和△AEG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等可得AH=AB．

解答 證明：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，DF=BG，AF=AG，∠DAF=∠BAG．
∵∠FAG=∠BAG+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD=90°，
∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠EAG=45°．
在△AEF和△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AG}\\{∠EAF=∠EAG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∵AH、AB分別是△AEF和△AEG對應(yīng)邊上的高，
∴AH=AB．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．