Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．

（1）求證：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．

 

Answer 1

【答案】

詳見試題解析.

【解析】

試題分析：

（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可得到：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據(jù)兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．

試題解析：

（1）∵BD平分∠ABC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD

∴PM=PN

∵PD=PD    Rt△PMD≌Rt△PND

∴∠ADB=∠CDB           （5分）

（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD

∴∠PMD=∠PND=90°

∵∠ADC=90°，

∴四邊形MPND是矩形

∵PM=PN

∴四邊形MPND是正方形                （10分）

考點：1.正方形的判定；2.全等三角形的判定與性質(zhì)．