Question

如圖①，∠ABC=90°，O為射線BC上一點，OB=4，以點O為圓心，BO長為直徑作⊙O交BC于點D、E。

（1）當射線BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)多少度時與⊙O相切？請說明理由；
（2）若射線BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)與⊙O相交于M、N兩點（如圖②），MN=2，求弧MN的長。

Answer 1

解：（1）當射線BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°或120°時與⊙O相切， 理由：若BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到BA'的位置，則∠A'B0=30°， 過O作OG⊥BA'，垂足為G， ∴OG=OB=2，∴BA'是⊙O的切線，同理，當BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°到BA"的位置時，BA"也是⊙O的切線； （或：當BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)到BA'的位置時，BA'與⊙O相切， 設切點為G，連結(jié)OG，則OG⊥AB， ∵OG=OB，∴∠A'BO=30° ∴BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)了60°， 同理可知，當BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)到BA"的位置時，BA"與⊙O相切，BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)了120°）
（2）∵MN=2，OM=ON=2 ∴MN2=OM2+ON2，∴∠MON=90° ∴弧MN的長為l=90π×2/180=π。