Question

已知：如圖，正方形ABCD的邊長為a，BM，DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足

，連結MC，NC，MN．

1.（1）填空：與△ABM相似的三角形是△        ，=        ；（用含a的代數(shù)式表示）

2.（2）求的度數(shù)；

3.（3）猜想線段BM，DN和MN之間的等量關系并證明你的結論．

 

Answer 1

 

1.（1）與△ABM相似的三角形是△ NDA ，

2.（2）由（1）△ABM∽△NDA可得． ………………3分

∵ 四邊形ABCD是正方形，

     ∴ AB=DC，DA=BC，．

∴ ．

∵ BM，DN分別平分正方形ABCD的兩個外角，

∴ ．

            ∴ △BCM∽△DNC．…………………………………………………………4分

∴ ．

∴

   ．

3.（3）線段BM，DN和MN之間的等量關系是．

（只猜想答案不證明不給分）

    證法一：如圖9，將△AND繞點A順時針旋轉90°得到△ABF，連接MF．則   

           △ABF≌△ADN． …………………………………………………6分

∴ ，AF=AN，BF=DN，．

∴ ．

∴ ．

又∵ AM=AM，

∴ △AMF≌△AMN．

∴ MF=MN．

可得．

∴ 在Rt△BMF中，．

∴ ．…………………………………………7分

 

 

 

 

 

 

證法二：連接BD，作ME∥BD，與DN交于點E．（如圖10）

         可知，．……………………………………6分

          ∵ ME∥BD，

∴ ．

∵ ，

∴ 四邊形BDEM是矩形．

∴ ME=BD，BM=DE．

在Rt△MEN中，，

∴   

．

解析:略