Question

15．如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），且AD=AE，連結(jié)DE．
問題原型：將圖①中△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）．如圖②，求證：△ABD≌△ACE．
初步探究：在問題原型的條件下，延長BD交直線AC于點(diǎn)G，交直線CE于點(diǎn)F，請(qǐng)利用圖③探究BF⊥CE是否成立，并說明理由．
簡單應(yīng)用：在問題原型的條件下，當(dāng)AB=$\sqrt{3}$，AD=1時(shí)，若AD∥CE，則CF的長為$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 問題原型：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和已知，運(yùn)用SAS證明即可；
初步探究：由問題原型中的結(jié)論：△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，結(jié)合等量代換進(jìn)行求解即可；
簡單應(yīng)用：運(yùn)用AD∥CE結(jié)合初步探究中的結(jié)論，可證AD⊥BG，結(jié)合射影定理和勾股定理和相似的性質(zhì)即可求解．

解答 解：問題原型如圖②，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE；
初步探究：如圖③，

由問題原型可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DGA=90°，∠DGA=∠CGF，
∴∠CGF+∠ACE=90°，
∴BF⊥CE；
簡單應(yīng)用：如圖③，

由初步探究可知，BF⊥CE，
∵AD∥CE，
∴AD⊥BG，
∵∠BAG=90°，AB=$\sqrt{3}$，AD=1，
∴勾股定理和由射影定理可求：
BD=$\sqrt{2}$，DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AG=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵△ABD≌△ACE，
∴AC=AB=$\sqrt{3}$，
∴CG=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由AD∥CE易證△ADG∽△CFG，
∴$\frac{CF}{AD}=\frac{CG}{AG}$，
解得：CF=$\sqrt{2}$-1．
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查幾何變換中的旋轉(zhuǎn)，熟悉旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，會(huì)證明三角形全等，并應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)解決角的問題，會(huì)運(yùn)用射影定理和勾股定理和相似求線段長度是解題的關(guān)鍵．