Question

拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)直角△ABC的頂點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），直角頂點(diǎn)C在y軸上，若拋物線的頂點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部（不包括邊界），則a的范圍是

-

1

5

＜a＜0或0＜a＜

1

5

．

Answer 1

分析：根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、OB的長(zhǎng)，再求出△ACO和△CBO相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OC的長(zhǎng)，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出對(duì)稱軸，設(shè)對(duì)稱軸與直線BC相交于P，與x軸交于Q，利用∠ABC的正切值求出點(diǎn)P到x軸的距離PQ，設(shè)拋物線的交點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x+1）（x-4），整理求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部分兩種情況列式求出a的取值范圍即可．

解答：解：∵點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
易得△ACO∽△CBO，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
即

1

OC

=

OC

4

，
解得OC=2，
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（4，0），
∴對(duì)稱軸為直線x=

-1+4

2

=

3

2

，
設(shè)對(duì)稱軸與直線BC相交于P，與x軸交于Q，
則BQ=4-

3

2

=2.5，
tan∠ABC=

OC

OB

=

PQ

BQ

，
即

2

4

=

PQ

2.5

，
解得PQ=

5

4

，
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），
則y=a（x²-3x-4）=a（x-

3

2

）²-

25

4

a，
當(dāng)點(diǎn)C在y軸正半軸時(shí)，0＜-

25

4

a＜

5

4

，
解得-

1

5

＜a＜0，
當(dāng)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸時(shí)，-

5

4

＜-

25

4

a＜0，
解得0＜a＜

1

5

，
所以，a的取值范圍是-

1

5

＜a＜0或0＜a＜

1

5

．
故答案為：-

1

5

＜a＜0或0＜a＜

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，把二次函數(shù)的解析式用交點(diǎn)式形式表示更加簡(jiǎn)便，注意要分點(diǎn)C在y正半軸和負(fù)半軸兩種情況討論．