Question

2012年國家商務部發(fā)布了商務預報監(jiān)測，豬肉價格在1～3月下跌后，已跌至肉價的最低點；而重慶市菜價，卻在上演一輪5元一把的藤藤菜、12元/千克的蘑菇、30元/千克的黑豆的漲價潮，“菜價高于肉價”讓普通百姓表示吃不起素．進入3月，隨著本地蔬菜的大量上市，我市蔬菜價格普遍下降．以下是重慶某一超市3月份每周的蘑菇銷售價格變化如下表：

周數x	1	2	3	4
價格y（元/千克）	12	6	4	3

已知該超市3月份每周的蘑菇銷售量z₁（千克）與周數x（1≤x≤4，且x為整數）所滿足的函數關系式z1=-25x2+175x；進入4月份，該超市每周的蘑菇銷售價格穩(wěn)定在3元/千克，每周的銷售量z₂（千克）與周數x（1≤x≤4，且x為整數）所滿足的函數關系式為z2=ax2+bx+400，且函數圖象為下圖所示：
（1）請觀察題中的表格及函數圖象，用你所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，直接寫出3月份每周的銷售價格y（元/千克）與周數x（1≤x≤4，且x為整數）之間的函數關系式？并直接寫出4月份每周的銷售量z₂（千克）與周數x（1≤x≤4，且x為整數）所滿足的函數關系式？
（2）求出3月和4月分別在哪一周銷售此種蘑菇的銷售額最大？且最大銷售額分別是多少？
（3）進入5月，重慶市由于受暴雨的影響，蔬菜運輸道路堵塞，蔬菜及時供應困難，蘑菇的價格出現波動，5月的第1周蘑菇的銷售價格比4月份上漲a%，銷售量比4月的第4周增加0.5a%，5月份的第2周蘑菇的銷售價格與5月的第1周持平，但銷售量比第1周減少130千克，這樣，要使5月份第2周的銷售額達到4月份的最大銷售額，求a的最小正整數值？（參考數據：

31

≈5.568，  

33

≈5.745，  

35

≈5.916）

Answer 1

考點：二次函數的應用

專題：

分析：（1）設3月份每周的銷售價格y（元/千克）與周數x（1≤x≤4，且x為整數）之間的函數關系式為y=

k

x

，根據函數圖象直接利用待定系數法就可以求出4月份每周的銷售量z₂（千克）與周數x（1≤x≤4，且x為整數）之間的函數關系式；
（2）設銷售額為w，根據銷售額=銷售單價×銷售數量就可以分別把三月和四月各周的銷售額表示出來，根據二次函數的頂點式就可以求出結論；
（3）先求出4月第四周的銷售量為-5×16+50×4+400=520kg，就可以表示出5月第一周的銷量為520（1+0.5a%）kg，第二周的銷量為520（1+0.5a%）-130，再表示出5月第一周的價格3（1+a%）元，根據5月份第2周的銷售額達到4月份的最大銷售額為等量關系建立方程求出其解即可．

解答：解：（1）設設3月份每周的銷售價格y（元/千克）與周數x（1≤x≤4，且x為整數）之間的函數關系式為y=

k

x

，由題意，得
6=

k

2

，
∴k=12．
∴y=

12

x

（1≤x≤4，且x為整數），
∵z2=ax2+bx+400經過（1，455），（3，505）兩點，
∴

445=a+b+400 505=9a+3b+400

，
解得：

a=-5 b=50

，
∴z2=-5x2+50x+400；

（2）由題意，得
三月每周的銷售額為：
w_3月=

12

x

（-25x²+175x），
=-300x+2100，
∵k=-300＜0，
∴w隨x的增大而減小，
∴x=1時，w_3月最大=1800元，
四月每周的銷售額為：
w4月=3（-5x²+50x+400），
=-15（x-5）²+1575，
∵a=-15＜0，
∴拋物線的開口向下，函數有最大值，在對稱軸左側w隨x的增大而增大，
∵對稱軸為x=5，1≤x≤4，且x為整數，
∴x=4時，w_4月最大=1560元
∴三月的第一周銷售額最大為1800元，4月的第四周銷售額最大為1560元．

（3）由題意，得
4月第四周的銷售量為：-5×16+50×4+400=520kg，
5月第一周的銷量為：520（1+0.5a%）kg，
第二周的銷量為：520（1+0.5a%）-130，
5月第一周的價格為：3（1+a%）元，
[520（1+0.5a%）-130]×3（1+a%）=1560，
化簡為：2m²+5m-1=0，
m=

-5± 25-4×2(-1)

4

，
=

-5± 33

4

，
∵

33

≈5.745，
∴m₁=0.18625，m₂=-2.68625，
∴a%=0.18625或a%=-2.68625，
∴a=18.625或-268.625．
∵a為正整數，
∴a=19．
答：a的最小正整數值為19．

點評：本題考查了運用待定系數法求反比例函數和二次函數的解析式的運用，二次函數的頂點式的運用和一次函數的性質的運用，列一元二次方程解實際問題的運用及一元二次方程的額解法的運用，解答第三問是難點，根據題意的數量關系建立方程是解答的關鍵．本題也是今年來中考的常考題型，屬于高難度題，計算量較大．