Question

【題目】如圖1，在等邊三角形中，為中線，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在射線上，連接，設(shè)（且）．

（1）當(dāng)時(shí)，

①在圖1中依題意畫(huà)出圖形，并求（用含的式子表示）；

②探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（2）當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）

【解析】

（1）①先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)的，進(jìn)而得出，最后用三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；②先判斷出，得出，再判斷出是底角為30度的等腰三角形，再構(gòu)造出直角三角形即可得出結(jié)論；（2）同②的方法即可得出結(jié)論．

（1）當(dāng)時(shí)，

①畫(huà)出的圖形如圖1所示，

∵為等邊三角形，

∴．

∵為等邊三角形的中線

∴是的垂直平分線，

∵為線段上的點(diǎn)，

∴．

∵，

∴，．

∵線段為線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得，

∴．

∴．

∴，

∴；

②；

如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，作于點(diǎn)．

∵，點(diǎn)在上，

∴．

∵點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，

∴．

∴．

又∵，，

∴．

∴．

∵于點(diǎn)，

∴，．

∵在等邊三角形中，為中線，點(diǎn)在上，

∴，

即為底角為的等腰三角形．

∴．

∴．

（2）如圖3，當(dāng)時(shí)，

在上取一點(diǎn)使，

∵為等邊三角形，

∴．

∵為等邊三角形的中線，

∵為線段上的點(diǎn)，

∴是的垂直平分線，

∴．

∵，

∴，．

∵線段為線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得，

∴．

∴．

∴，

又∵，，

∴．

∴．

∵于點(diǎn)，

∴，．

∵在等邊三角形中，為中線，點(diǎn)在上，

∴，

∴．

∴．