Question

如圖，在半徑為5的扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是

AB

上的一點(diǎn)，且BC=2，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．
（1）求線段OD、DE的長；
（2）求線段OE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,三角形中位線定理

專題：計(jì)算題

分析：（1）連結(jié)AB，如圖1，根據(jù)垂徑定理，由OD⊥BC得到BD=

1

2

BC=1，再在Rt△OBD中，利用勾股定理可計(jì)算出OD=2

6

，然后證明DE為△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到DE=

1

2

AB，接著證明△AOB為等腰直角三角形得到AB=

2

OB=5

2

，所以DE=

5 2

2

；
（2）作DH⊥OE，連結(jié)OC，如圖2先證明∠2+∠3=45°，得到△ODH為等腰直角三角形，則OH=DH=

2

2

OD=2

3

，再在Rt△DHE中，利用勾股定理計(jì)算出HE=

2

2

，然后由OE=OH+HE計(jì)算即可．

解答：解：（1）連結(jié)AB，如圖1，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC=1，
在Rt△OBD中，∵BD=1，OB=5，
∴OD=

OB2-BD2

=2

6

，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE=

1

2

AB，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴AB=

2

OB=5

2

，
∴DE=

5 2

2

；
即線段OD、DE的長分別為2

6

，

5 2

2

；
（2）作DH⊥OE，連結(jié)OC，如圖2，
∵OC=OB，OD垂直平分BC，
∴OD平分∠BOC，即∠3=∠4，
同理可得∠1=∠2，
而∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠2+∠3=45°，
∴△ODH為等腰直角三角形，
∴OH=DH=

2

2

OD=

2

2

•2

6

=2

3

，
在Rt△DHE中，∵DH=2

3

，DE=

5 2

2

，
∴HE=

DE2-DH2

=

2

2

，
∴OE=OH+HE=2

3

+

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了勾股定理和三角形中位線定理．