Question

已知：如圖，點C為線段AB上的一點，△ACM和△CBN是等邊三角形，直線AN、CM交于點E，直線BM、CN交于點F．
（1）求證：AN=BM；
（2）請你猜想△CEF是什么形狀的三角形，并證明你的猜想．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）由等邊三角形的性質可得AC=CM，BNC=CN，再利用角的和差可得到∠ACN=BCM，可證明△ACN≌△MCB，可得到AN=BM；
（2）由條件可得∠ECF=60°，結合（1）可得到條件可得∠CAN=∠CBM，可證明△CEN≌△CFB，可得CE=CF，可知△CEF為等邊三角形．

解答：（1）證明：∵△ACM和△CBN是等邊三角形，
∴AC=MC，BC=CN，∠MCA=∠NCB=60°，
∴∠ACN=∠MCB=120°，
在△ACN和△MCB中，

AC=CM ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM；
（2）解：△CEF為等邊三角形，證明如下：
∵△ACM和△CBN是等邊三角形，
∴∠MCA=∠NCB=60°，
∴∠ECF=180°-60°-60°=60°，
又△ACN≌△MCB，
∴∠ENC=∠FBC，
在△CEN和△CFB中，

∠ENC=∠FBC CN=CB ∠ECN=∠FCB

，
∴△CEN≌△CFB（ASA），
∴CE=CF，
∴△CEF為等邊三角形．

點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質及等邊三角形的性質和判定，掌握全等三角形和等邊三角形的判定方法是解題的關鍵．