Question

15．如圖，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．
（1）猜想圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系．
（2）將圖1中的正方形CEFG繞著點C旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到如圖2的情形．請你通過觀察、測量等方法判斷（1）中得到的結(jié)論是否仍然成立？說明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，由SAS證明△BCG≌△DCE，得出BG=DE，∠CBG=∠CDE，延長BG交DE于H，由角的互余關(guān)系和對頂角相等證出∠CDE+∠DGH=90°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠DHG=90°即可；
（2）由正方形的性質(zhì)可得BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，然后求出∠BCG=∠DCE，由SAS證明△BCG和△DCE全等，由全等三角形對應(yīng)邊相等可得BG=DE，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CBG=∠CDE，然后求出∠DOH=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可．

解答 （1）解：BG=DE，BG⊥DE；理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，四邊形CEFG是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCG=∠ECG}&{\;}\\{CG=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
延長BG交DE于H，如圖所示：
∵∠CBG+∠BGC=90°，∠DGH=∠BGC，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BG⊥DE；
（2）解：成立；理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，四邊形CEFG是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，
即∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}&{\;}\\{∠BCG=∠DCE}&{\;}\\{CG=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
∵∠CBG+∠BHC=90°，∠BHC=∠DHO（對頂角相等），
∴∠CDE+∠DHO=90°，
在△DHO中，∠DOH=180°-（∠CDE+∠DHO）=180°-90°=90°，
∴BG⊥DE．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、對頂角相等、三角形內(nèi)角和定理；熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．