Question

8．如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
（1）如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC=60°．
①求證：△ABP∽△BCP；
②若PA=3，PC=4，則PB=2$\sqrt{3}$．
（2）已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P點(diǎn)．如圖（2）
①求∠CPD的度數(shù)；
②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)題意，利用內(nèi)角和定理及等式性質(zhì)得到一對角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；
②由三角形ABP與三角形BCP相似，得比例，將PA與PC的長代入求出PB的長即可；
（2）①根據(jù)三角形ABE與三角形ACD為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對邊相等，兩個(gè)角為60°，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ACE與三角形ABD全等，利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠1=∠2，再由對頂角相等，得到∠5=∠6，即可求出所求角度數(shù)；
②由三角形ADF與三角形CPF相似，得到比例式，變形得到積的恒等式，再由對頂角相等，利用兩邊成比例，且夾角相等的三角形相似得到三角形AFP與三角形CFD相似，利用相似三角形對應(yīng)角相等得到∠APF為60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC為120°，進(jìn)而確定出∠APB與∠BPC都為120°，即可得證．

解答 （1）證明：①∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
②解：∵△ABP∽△BCP，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{PB}{PC}$，
∴PB²=PA•PC=12，
∴PB=2$\sqrt{3}$；   
故答案為：2$\sqrt{3}$；
（2）解：①∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，
∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{∠EAC=∠BAD}\\{EA=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠CPD=∠6=∠5=60°；
②證明：∵△ADF∽△CFP，
∴AF•PF=DF•CF，
∵∠AFP=∠CFD，
∴△AFP∽△CDF．
∴∠APF=∠ACD=60°，
∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，
∴∠BPC=120°，
∴∠APB=360°-∠BPC-∠APC=120°，
∴P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．

點(diǎn)評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，費(fèi)馬點(diǎn)的定義，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．