Question

1．如圖，△ABC為等邊三角形，P為AB上一點，PE⊥BC于E交AC于F，在BC的延長線上截取CD=PA，PD交AC于I，$\frac{PA}{PB}=n$．
（1）如圖1，當n=1時，$\frac{EC}{CD}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{FI}{ED}$=1．（直接寫出）
（2）如圖2，∠EPD=60°，并求出$\frac{FI}{ED}$的值，請寫出證明的過程．
（3）如圖3，當P在AB延長線上，其它條件不變，當n=3時，$\frac{EC}{CD}$=$\frac{5}{6}$．（直接寫出）

Answer 1

分析 （1）①由題意，在直角△CEF中，∠F=30°，則CE=$\frac{1}{2}$CF，又由∠BAC=∠F+∠APF=60°，可得AF=AP=CD=$\frac{1}{2}$AB，CD=$\frac{1}{3}$CF，即可得出；
②如圖1，作PG∥BC，IH∥BC，可得IH=$\frac{1}{2}$FI，易證△PGI≌△DCI，則DI=PI，在△PDE中，IH是中位線，可得IH=$\frac{1}{2}$DE，即可得出；
（2）連BP，且過P作PM⊥AC于M，過P點作PN∥BC交AC于N，可得△ANP為等邊三角形，證△PNI≌△DCI，根據(jù)等邊三角形的性質和全等三角形的性質得CI=CD，即可求出n的值；在△AMP中可得AM=$\frac{1}{2}$an，CM=a+$\frac{1}{2}$an，CE=$\frac{1}{2}$a+an，由∠EPB=∠APF=30°，可得AF=AP=an，F(xiàn)I=2an+$\frac{1}{2}$a，即可求出；
（3）根據(jù)（1）的推理原理，即可推出結果．

解答 解：（1）①∵等邊三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC，
∵EF⊥BC，
∴在直角△CEF中，∠F=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$CF，
∵PA=nPB，n=1，
∴2PA=AC，
又∵∠BAC=∠F+∠APF=60°，
∴AF=AP=CD=$\frac{1}{2}$AC，
∴CD=$\frac{1}{3}$CF，
∵CE=$\frac{1}{2}$CF，
∴$\frac{EC}{CD}=\frac{3}{2}$；
②如圖1，作PG∥BC，IH∥BC，

∴IH=$\frac{1}{2}$FI，
易證△PGI≌△DBI，則DI=PI，
∴在△PDE中，IH是中位線，
∴IH=$\frac{1}{2}$DE，
∴$\frac{FI}{ED}$=1；
（2）如圖2，設PB=a，則PA=an；連CP，且過P作PM⊥AC于M；

過P點作PN∥BC交AC于N，
可△ANP為等邊三角形，
所以AP=PN=AN，
∴△PNI≌△DCI（AAS），
∴IB=$\frac{1}{2}$a，
又∵∠PED=90°，
∴∠D=∠CID=30°，
∴CI=CD，即$\frac{1}{2}a$=an，
∴n=$\frac{1}{2}$，
在△AMP中可得AM=$\frac{1}{2}$an，
∴CM=a+an-$\frac{1}{2}$an=a+$\frac{1}{2}$an，
CE=a+an-$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{2}$a+an，
又∵DC=PA，
∴DE=$\frac{1}{2}$a+an+an=2an+$\frac{1}{2}$a，
又∵∠EPB=∠APF=30°，
而∠BAF=120°，∠F=30°，
∴AF=AP=an，
∴FI=2an+$\frac{1}{2}$a，
∴$\frac{FI}{ED}=\frac{2an+\frac{1}{2}a}{2an+\frac{1}{2}a}$=1；
（3）∵等邊三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC，
∵EF⊥BC，
∴在直角△CEF中，∠F=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$CF，
∵PA=nPC，n=3，
∴PA=$\frac{2}{3}$AB，
又∵∠BAC=∠F+∠APF=60°，
∴AF=AP=CD=$\frac{2}{3}$AB，
∴CD=$\frac{5}{3}$CF，
∵CE=$\frac{1}{2}$CF，
∴$\frac{EC}{CD}$=$\frac{5}{6}$．
故答案為：（1）$\frac{3}{2}$，1；（3）$\frac{5}{6}$．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質、等邊三角形性質、中位線定理、直角三角形性質等知識點，綜合程度大，根據(jù)題意通過全等等知識表示出線段的長得出比值是根本思路．