Question

如圖：⊙M經(jīng)過O點，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點，線段OA、OB（OA＞OB）的長是方程x²-17x+60=0的兩根．
（1）求線段OA、OB的長；
（2）若點C在劣弧OA上，連結(jié)BC交OA于D，當(dāng)OC²=CD•CB時，求點C的坐標(biāo)；
（3）若點C在優(yōu)弧OA上，作直線BC交x軸于D，是否存在△COB和△CDO相似？若存在，直接寫出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）利用因式分解法解方程即可得到OA=12，OB=5；
（2）連接AB、AC、MC，MC與OA交于F，如圖1，由OC²=CD•CB，∠OCD=∠BCO，根據(jù)相似三角形的判定方法即可得到△COD∽△CBO，則∠2=∠1，而根據(jù)圓周角定理有∠1=∠3，所以∠2=∠3，得到弧AC=弧OC，根據(jù)垂徑定理得MC⊥OA，OF=AF=

1

2

OA=6，然后根據(jù)圓周角定理由∠AOB=90°得AB為⊙M的直徑，則在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理可計算出AB=13，得到MC=

13

2

，易得MF=

1

2

OB=

5

2

，則FC=MC-MF=4，于是得到C點坐標(biāo)為（6，-4）；
（3）連接AC，連接CM并延長交OA于F，如圖2，若CA=CO，則∠COA=∠CAO，根據(jù)鄰補角的定義得∠COA+∠COD=180°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠CAO+∠CBO=180°，則∠COD=∠CBO，加上∠OCD=∠DCO，根據(jù)相似的判定方法即可得到△CBO∽△COD；由CA=CO得弧CA=弧CO，根據(jù)垂徑定理得CF⊥AC，由（2）得MF=

5

2

，CM=

13

2

，OF=6，則CF=CM+MF=9，于是得到C點坐標(biāo)為（6，9）．

解答：解：（1）∵（x-12）（x-5）=0，
∴x₁=12，x₂=5，
∴OA=12，OB=5；
（2）連接AB、AC、MC，MC與OA交于F，如圖1，
∵OC²=CD•CB，即OC：CD=CB：OC，
而∠OCD=∠BCO，
∴△COD∽△CBO，
∴∠2=∠1，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴弧AC=弧OC，
∴MC⊥OA，
∴OF=AF=

1

2

OA=6，
∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
在Rt△AOB中，OA=12，OB=5，
∴AB=

OB2+OA2

=13，
∴MC=

13

2

，
∵MF為△AOB的中位線，
∴MF=

1

2

OB=

5

2

，
∴FC=MC-MF=4，
∴C點坐標(biāo)為（6，-4）；
（3）存在．
連接AC，連接CM并延長交OA于F，如圖2，
若CA=CO，則∠COA=∠CAO，
∵∠COA+∠COD=180°，∠CAO+∠CBO=180°，
∴∠COD=∠CBO，
而∠OCD=∠DCO，
∴△CBO∽△COD，
∵CA=CO，
∴弧CA=弧CO，
∴CF⊥AC，
由（2）得MF=

5

2

，CM=

13

2

，OF=6，
∴CF=CM+MF=9，
∴C點坐標(biāo)為（6，9）．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形相似的判定與性質(zhì)；會解一元二次方程和利用勾股定理計算線段的長；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．