Question

 已知：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點和點，線段交軸于點．

(1)    求這條拋物線的解析式；

(2)    點是線段上一個動點，過點作軸的垂線，交拋物線于點，求線段的長度的最大值；

(3)    設拋物線與軸的另一個交點為，連結．過點作的平行線

．在直線上是否存在點，在軸右側的拋物線上是否存在點，使得四邊形為直角梯形？若存在，請求出、兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)因為拋物線過點、，

所以解這個方程組，得   

所以拋物線的解析式為：．

(2)設直線的解析式為：，因為、坐標分別為，，

所以  解這個方程組，得 

所以直線的解析式為：．

設點的坐標為，因為點在線段上，所以．

因為軸，我們可設點坐標為．

因為點在拋物線上，所以．

因為點在點的上方，

所以＝＝． 

即＝． 所以當時，長度的最大值為4

 (3) 存在．理由如下：

要使四邊形為直角梯形，則四邊形

首先必須為梯形，即需滿足∥或∥．

①     若∥，

因為、兩點在直線上，即有∥．

又因∥，所以點在直線上．

因為點又在拋物線上，

所以點是直線與拋物線的交點．

由已知是直線與拋物線的交點，

所以就是滿足條件的一個點．

在中，令，即，解得(舍去)．

所以，即． 

因為直線與拋物線的另一個交點在第二象限，故舍去．

過點作，垂足為點，過點作軸，垂足為．

在直線中，令，得．即點的坐標為．

在中，因為，所以．

因為∥，所以．

所以是等腰直角三角形．

所以，，所以點的坐標是．

②∥，

因為直線與直線不垂直，所以點必為直角頂點．軸．

因為點的坐標為，我們可設，

因為點在拋物線上，

所以，解得(舍去)．得點的坐標為．

設(點在直線上)，交軸于點，則．

在中，，，所以點的坐標為．

綜上所述，存在滿足條件的點和點，坐標分別是或．