Question

9．已知：AD是ABC的邊BC上的高，AE是△ABC的外接圓的直徑．
（1）求證：△ADB∽△ACE；
（2）已知AB=3，AC=4，AD=2，求AE．

Answer 1

分析 （1）由AD是ABC的邊BC上的高得到∠ADB=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠ACE=90°，∠B=∠AEC，于是根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷△ADB∽△ACE；
（2）由于△ADB∽△ACE，則可根據(jù)相似比求出AE的長．

解答 （1）證明：∵AD是ABC的邊BC上的高，
∴∠ADB=90°，
∵AE是△ABC的外接圓的直徑，
∴∠ACE=90°，
∵∠B=∠AEC，∠ADB=∠ACE，
∴△ADB∽△ACE；
（2）解：∵△ADB∽△ACE，
∴AD：AC=AB：AE，即2：4=3：AE，
∴AE=6．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時主要利用相似比計(jì)算相應(yīng)線段的長．解決本題的關(guān)鍵圓周角定理的應(yīng)用．