Question

如圖，拋物線y=ax²-5ax+4（a＜0）經過△ABC的三個頂點．已知BC∥x軸，點A在x軸上，點C在y軸上，且AC=BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動點，是否存在點P，使△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）令x=0，可求出C點坐標，由BC∥x軸可知B，C關于拋物線的對稱軸對稱，可求出B點坐標，根據AC=BC可求出A點坐標．
（2）分三種情況討論：
①以AB為腰且頂角為∠A，先求出AB的值，再利用等腰三角形的性質結合勾股定理求出P₁N的長，即可求出P₁的坐標；
②以AB為腰且頂角為角B，根據MN的長和MP₂的長，求出P₂的縱坐標，已知其橫坐標，可得其坐標；
③以AB為底，頂角為角P時，依據Rt△P₃CK∽Rt△BAQ即可求出OK和P₃K的長，可得P₃坐標．

解答：解：（1）由拋物線y=ax²-5ax+4可知C（0，4），對稱軸x=-

b

2a

=

5

2

，
則BC=5，B（5，4），又AC=BC=5，OC=4，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO=3，
∴A（-3，0）B（5，4）C（0，4）
把點A坐標代入y=ax²-5ax+4中，
解得a=-

1

6

，
故y=-

1

6

x²+

5

6

x+4．

（2）存在符合條件的點P共有3個．以下分三類情形探索．
設拋物線對稱軸與x軸交于N，與CB交于M．
過點B作BQ⊥x軸于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=

5

2

．
①以AB為腰且頂角為角A的△PAB有1個：△P₁AB．
則AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80（8分）
在Rt△ANP₁中，P₁N=

AP12-AN2

=

AB2-AN2

=

80-(5.5)2

=

199

2

，
∴P₁（

5

2

，-

199

2

）．
②以AB為腰且頂角為角B的△PAB有1個：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中MP₂=

PB 2 2 -BM2

=

AB2-BM2

=

80- 25 4

=

295

2

，
則P₂=（

5

2

，

8- 295

2

）．
③以AB為底，頂角為角P的△PAB有1個，即△P₃AB．
畫AB的垂直平分線交拋物線對稱軸于P₃，此時平分線必過等腰△ABC的頂點C．
過點P₃作P₃K垂直y軸，垂足為K，
∵∠CP₃K=∠ABQ，∠CKP₃=∠AQB，
∴Rt_△P₃CK∽Rt_△BAQ．
∴

P3K

CK

=

BQ

AQ

=

1

2

．
∵P₃K=2.5
∴CK=5于是OK=1，
∴P₃（2.5，-1）．

點評：此題考查了用對稱軸公式求函數對稱軸方程，用待定系數法求函數解析式等基礎知識，還結合等腰三角形的性質考查了點的存在性問題，有一定的開放性．