Question

18．如圖，已知拋物線y=x²+4x+3的頂點為A，拋物線與x軸相交于點B和點C（點B在點C的左側），與y軸相交于點D、點P為對稱軸直線l上的一個動點，以每秒1個單位長度的速度從拋物線的頂點A向上運動．設點P運動的時間為t秒．
（1）求點C的坐標；
（2）①當t為2秒時，△PCD的周長最��；
②當t為4，4-$\sqrt{6}$，4+$\sqrt{6}$秒時，△PCD是以CD為腰的等腰三角形；（結果保留根號）
（3）探究點P在運動過程中，是否存在一點P，使△PCD是以CD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；
（2）①根據兩點之間線段最短，可得P在BD上，根據自變量與函數值的對應關系，可得P點坐標，根據平行于y軸的直線上兩點之間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PA的長，再根據路程除以速度，可得答案；
②根據兩邊相等的三角形是等邊三角形，可得關于b的方程，根據解方程，可得b，可得P點坐標，根據平行于y軸的直線上兩點之間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PA的長，再根據路程除以速度，可得答案；
（3）根據勾股定理的逆定理，可得關于b的方程，根據解方程，可得b，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

解答 解：（1）當y=0時，x²+4x+3=0，解得x=-3，x=-1，
即B點坐標為（-3，0），C點坐標為（-1，0）；
（2）①配方，得y=（x+2）²-1，即A（-2，-1），
當x=0時，y=3，即D（0，3）．
P在BD上時，△PCD的周長最小，
設BD的解析式為y=kx+b，將B、D點坐標代入函數，得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，BD的解析式為y=x+3，
當x=-2時，y=1，即P（-2，1）．
PA的長為1-（-1）=2，
2÷1=2s，
當t為2秒時，△PCD的周長最小；
②設P（-2，b），由勾股定理，得
CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，PC=$\sqrt{（-2+1）^{2}+^{2}}$，PD=$\sqrt{{2}^{2}+（b-3）^{2}}$．
Ⅰ當PC=CD時，b²+1=10，解得b=3，b=-3（不符合題意，舍），即P（-2，3）．
PA=3-（-1）=4，4÷1=4，即當t為4秒時，△PCD是以CD為腰的等腰三角形；
Ⅱ當PD=CD時，（b-3）²+4=10，解得b=$\sqrt{6}$+3，b=-$\sqrt{6}$+3，即P₁（-2，3+$\sqrt{6}$），P₂（-2，3-$\sqrt{6}$）．
P₁A=4+$\sqrt{6}$，（4+$\sqrt{6}$）÷1=（4+$\sqrt{6}$）秒；P₂A=4-$\sqrt{6}$，（4-$\sqrt{6}$）÷1=（4-$\sqrt{6}$）秒，
當t為（4+$\sqrt{6}$）秒時，△PCD是以CD為腰的等腰三角形，當t為（4-$\sqrt{6}$）秒時，△PCD是以CD為腰的等腰三角形；
綜上所述：當t為4，4-$\sqrt{6}$，4+$\sqrt{6}$秒時，△PCD是以CD為腰的等腰三角形，
故答案為：2；4，4-$\sqrt{6}$，4+$\sqrt{6}$；
（3）存在一點P，使△PCD是以CD為斜邊的直角三角形．
CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，PC=$\sqrt{（-2+1）^{2}+^{2}}$，PD=$\sqrt{{2}^{2}+（b-3）^{2}}$．
PD²+PC²=CD²，
即b²+1+（b-3）²+4=10，
解得b=1或b=2．
即P（-2，1），（-2，2）．
存在一點P，使△PCD是以CD為斜邊的直角三角形，點P的坐標（-2，1），（-2，2）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用自變量與函數值的對應關系是求圖象與坐標軸交點的關鍵；利用兩點之間線段最短得出P在BD上是解題關鍵；利用等腰三角形得出關于b的方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏；利用了勾股定理得逆定理得出關于b的方程．