Question

（10分）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D是邊AC上的一點，連接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一點，以BE為直徑的⊙O經(jīng)過點D．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若∠A=60°，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號和π）

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由OD=OB得∠1=∠ODB，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，所以∠DOC=∠A，由于∠A+∠C=90°，所以∠DOC+∠C=90°，則可根據(jù)切線的判定定理得到AC是⊙O的切線；

（2）由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CD=OD=，然后利用陰影部分的面積求解．

試題解析：（1）∵OD=OB，∴∠1=∠ODB，∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，∴∠DOC=∠A，∵∠A+∠C=90°，∴∠DOC+∠C=90°，∴OD⊥DC，∴AC是⊙O的切線；

（2）∵∠A=60°，∴∠C=30°，∠DOC=60°，在Rt△DOC中，OD=2，∴CD=OD=，∴陰影部分的面積=，，∴．

考點：1．切線的判定；2．扇形面積的計算．