Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=9．點D是BC邊上的一動點（不與點B、C重合），過點D作DE⊥BC交AB于點E，將∠B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處．當△AEF為直角三角形時，BD的長為

 

．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：首先由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=9，即可求得AC的長、∠AEF與∠BAC的度數，然后分別從從∠AFE=90°與∠EAF=90°去分析求解，又由折疊的性質與三角函數的知識，即可求得CF的長，繼而求得答案．

解答：解：根據題意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB，
∵DE⊥BC，
∴∠FED=90°-∠EFD=60°，∠BEF=2∠FED=120°，
∴∠AEF=180°-∠BEF=60°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，
∴AC=BC•tan∠B=9×

3

3

=3

3

，∠BAC=60°，
如圖①若∠AFE=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠FAC=∠EFD=30°，
∴CF=AC•tan∠FAC=3

3

×

3

3

=3，
∴BD=DF=

BC-CF

2

=3；
如圖②若∠EAF=90°，
則∠FAC=90°-∠BAC=30°，
∴CF=AC•tan∠FAC=3

3

×

3

3

=3，
∴BD=DF=

BC+CF

2

=6，
∴△AEF為直角三角形時，BD的長為：3或6．
故答案為：3或6．

點評：此題考查了直角三角形的性質、折疊的性質以及特殊角的三角函數問題．此題難度適中，注意數形結合思想與分類討論思想的應用．