Question

5．如圖，兩艘海監(jiān)船剛好在某島東西海岸線上的A、B兩處巡邏，同時發(fā)現(xiàn)一艘不明國籍船只停在C處海域，AB=60（$\sqrt{3}$+1）海里，在B處測得C在北偏東45°反向上，A處測得C在北偏西30°方向上，在海岸線AB上有一燈塔D，測得AD=100海里．
（1）分別求出AC，BC（結(jié)果保留根號）．
（2）已知在燈塔D周圍80海里范圍內(nèi)有暗礁群，在A處海監(jiān)穿沿AC前往C處盤查，途中有無觸礁的危險？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，過點C作CE⊥AB于點E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，設(shè)CE=x，在Rt△CBE與Rt△CAE中，分別表示出BE、AE的長度，然后根據(jù)AB=60（$\sqrt{3}$+1）里，代入BE、AE的式子，求出x的值，繼而可求出AC、BC的長度；
（2）如圖所示，過點D作DF⊥AC于點F，在△ADF中，根據(jù)AD的值，利用三角函數(shù)的知識求出DF的長度，然后與100比較，進行判斷．

解答 解：（1）如圖所示，過點C作CE⊥AB于點E，
可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，
設(shè)CE=x，
在Rt△CBE中，BE=CE=x，
在Rt△CAE中，AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵AB=60（$\sqrt{3}$+1）海里，
∴x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=60（$\sqrt{3}$+1），
解得：x=60$\sqrt{3}$，
則AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=120，
BC=$\sqrt{2}$x=60$\sqrt{6}$，
答：A與C的距離為120海里，B與C的距離為60$\sqrt{6}$海里；
（2）如圖所示，過點D作DF⊥AC于點F，
在△ADF中，
∵AD=100，∠CAD=60°，
∴DF=ADsin60°=50$\sqrt{3}$≈86.6＜100，
故海監(jiān)船沿AC前往C處盤查，有觸礁的危險．

點評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給方向角構(gòu)造直角三角形，然后利用三角函數(shù)的知識求解，難度適中．