Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求AC、BC的長；
（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm²），當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC是否相似？請說明理由；
（4）當(dāng)x=5秒時(shí)，在直線PQ上是否存在一點(diǎn)M，使△BCM的周長最小，若存在，求出最小周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

8,6；0＜x≤3；16

解析試題分析： （1）設(shè)AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
即：（4x）²+（3x）²=10²，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；
（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，

∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，
∴，
∴QH=x，y=BP•QH=（10﹣x）•x=﹣x²+8x（0＜x≤3），
②當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)Q作QH′⊥AB于H′，

∵AP=x，
∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，
∴，即：，解得：QH′=（14﹣x），
∴y=PB•QH′=（10﹣x）•（14﹣x）=x²﹣x+42（3＜x＜7）；

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=；
（3）∵AP=x，AQ=14﹣x，
∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，
∴，即：，
解得：x=，PQ=，∴PB=10﹣x=，∴，
∴當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC不相似；

（4）存在．
理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，
∴PQ是△ABC的中位線，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，
∴PQ是AC的垂直平分線，∴PC=AP=5，
∴當(dāng)點(diǎn)M與P重合時(shí)，△BCM的周長最小，
∴△BCM的周長為：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM的周長最小.
考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題
點(diǎn)評：此題將用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、動(dòng)點(diǎn)問題和最小值問題相結(jié)合，有較大的思維跳躍，考查了同學(xué)們的應(yīng)變能力和綜合思維能力，是一道好題．