Question

在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C₁在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠CC₁A₁的度數(shù)；

（2）如圖2，連接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面積為4，求△CBC₁的面積；

（3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P₁，求線段EP₁長(zhǎng)度的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。

解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，

∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，..…（2分）

∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°．…（3分）

（2）∵△ABC≌△A₁BC₁，

∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，

∴，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，

∴∠ABA₁=∠CBC₁，

∴△ABA₁∽△CBC₁．…（5分）

∴，

∵S_△ABA1=4，

∴S_△CBC1=；…（7分）

（3）過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，

∴點(diǎn)D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，…（8分）

①如圖1，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB上時(shí)，EP₁最小，最小值為：EP₁=BP₁﹣BE=BD﹣BE=﹣2；…（9分）

②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP₁最大，最大值為：EP₁=BC+AE=2+5=7．…（10分）