Question

15．甲、乙兩人同時從相距90千米的A地前往B地，甲乘汽車，乙騎摩托車勻速行駛（汽車速度大于摩托車的速度）；甲先到達B地停留半個小時后返回A地，如圖是他們之間的距離y（千米）與甲出發(fā)時間x（小時）之間的函數圖象，其中D表示甲返回到A地．
（1）求甲乘汽車從A地前往B地和從B地返回A地的速度；
（2）求線段CD所表示的y（千米）與x（小時）之間的函數關系式；
（3）求甲車出發(fā)多長時間輛車相距50千米．

Answer 1

分析 （1）根據圖象和已知條件可知，甲乘車1小時到達B地，從而可以求得甲乘汽車從A地前往B地的速度，從而可以求得乙騎摩托車的速度，甲返回經過半小時與乙相遇，可以求得甲乘車從B地返回A地的速度；
（2）根據題意可以求得點D的坐標，由點C（2，0），從而可以求得線段CD所表示的y（千米）與x（小時）之間的函數關系式；
（3）根據函數圖象可知符合要求的存在三段，分別求出相應的函數解析式，令y=50代入可以分別求得相應的時間，本題得以解決．

解答 解：（1）∵由圖象可知，甲乘車1小時到達B地，
∴甲乘汽車從A地前往B地速度為：90÷1=90千米/時，
乙騎摩托車的速度為：（90-60）÷1=30÷1=30千米/時，
∵由圖象可知，甲從B地返回甲地，經過0.5小時與乙相遇，
∴甲乘車從B地返回A地的速度為：（90-1.5×30）÷0.5-30=60千米/時，
即甲乘汽車從A地前往B地的速度是90千米/時，從B地返回A地的速度是60千米/時；
（2）由第（1）問可知，甲乘車從B地到A地的速度是60千米/時，
∴甲從B到A地用的時間是：90÷60=1.5小時，
故點D的坐標是（3，90），
設過點C（2，0），點D（3，90）的直線的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{3k+b=90}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=90}\\{b=-180}\end{array}\right.$，
即線段CD所表示的y（千米）與x（小時）之間的函數關系式是：y=90x-180；
（3）設過點O（0，0），E（1，60）的直線的解析式為：y=ax，
則60=a×1，得a=60，
故y=60x，
將y=50代入y=60x，得x=$\frac{5}{6}$；
設過點E（1，60），F（1.5，45）的直線解析式為：y=cx+d，
則$\left\{\begin{array}{l}{c+d=60}\\{1.5c+d=45}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{c=-30}\\{d=90}\end{array}\right.$
故y=-30x+90，
將y=50代入y=-30x+90得，x=$\frac{4}{3}$；
由（2）知線段CD所表示的y（千米）與x（小時）之間的函數關系式是：y=90x-180，
將y=50代入y=90x-180，得$x=\frac{23}{9}$，
由上可得，當甲出發(fā)$\frac{5}{6}$小時，$\frac{4}{3}$小時或$\frac{23}{9}$小時時，兩輛車相距50千米．

點評 本題考查一次函數的應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想和函數的思想解答問題．