Question

19、如圖，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，O為BC邊上一點，以O為圓心，OB為半徑作半圓與AB邊交于點D，連接CD，若CD恰好是⊙O的切線：
（1）求證；△CAD是等腰三角形；
（2）若AC=3，BC=5，求⊙O的半徑r．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據切線的性質，∠CDO=90°，所以∠1與∠4互余，又因為△ABC是直角三角形，所以∠2與∠3互余，在圓中半徑相等，所以∠1=∠2，從而證得∠3=∠4，所以△CAD是等腰三角形．
（2）利用（1）的結論，知道DC=3，在Rt△CDO中，利用勾股定理，列出方程，即可求出r．

解答：（1）連接OD，則∠1=∠2，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠CDO=90°，
∴∠1與∠4互余，
在Rt△ABC中，∠2與∠3互余，
∴∠3=∠4，
∴AC=CD，
即△CAD為等腰三角形．

（2）由（1）知，AC=CD=3，
又BC=5，所以OC=5-r，
在Rt△CDO中：CD²+OD²=CO²，
即3²+r²=（5-r）²，
解得r=1.6．

點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．