Question

1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，點D在線段AB上，AD=2．點P，Q以相同的速度從D點同時出發(fā)，點P沿DB方向運動，點Q沿DA方向到點A后立刻以原速返回向點B運動．以PQ為直徑構(gòu)造⊙O，過點P作⊙O的切線交折線AC-CB于點E，將線段EP繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到EF，過F作FG⊥EP于G，當(dāng)P運動到點B時，Q也停止運動，設(shè)DP=m．
（1）當(dāng)2＜m≤8時，AP=，AQ=．（用m的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)線段FG長度達(dá)到最大時，求m的值；
（3）在點P，Q整個運動過程中，
①當(dāng)m為何值時，⊙O與△ABC的一邊相切？
②直接寫出點F所經(jīng)過的路徑長是．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得AP=2+m，AQ=m-2．
（2）如圖1中，在Rt△EFG中，∠EFG=∠A=30°，∠EGF=90°，推出FG=EF•cos30°=PE•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EP，所以當(dāng)點E與點C重合時，PE的值最大，求出此時EP的長即可解決問題．
（3）①分三種情形討論：當(dāng)0＜t≤2（Q在往A運動）時，如圖2中，設(shè)⊙O切AC于H，連接OH．當(dāng)2＜t≤8（Q從A向B運動）時，則PQ=（2+m）-（m-2）=4，如圖3中，設(shè)⊙O切AC于H．連接OH．如圖4中，設(shè)⊙O切BC于N，連接ON．分別求解即可．
②如圖5中，點F的運動軌跡是F₁→F₂→B．分別求出F₁F₂，F(xiàn)₂B即可解決問題．

解答 解：（1）當(dāng)2＜m≤8時，AP=2+m，AQ=m-2．
故答案為2+m，m-2．

（2）如圖1中，

在Rt△EFG中，∵∠EFG=∠A=30°，∠EGF=90°，
∴FG=EF•cos30°=PE•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EP，
∴當(dāng)點E與點C重合時，PE的值最大，
易知此時EP=$\frac{AC×BC}{AB}$=$\frac{5\sqrt{3}×5}{10}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∵EP=AP•tan30°=（2+m）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=（2+m）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴m=5.5

（3）①當(dāng)0＜t≤2（Q在往A運動）時，如圖2中，設(shè)⊙O切AC于H，連接OH．

則有AD=2DH=2，
∴DH=DQ=1，即m=1．
當(dāng)2＜t≤8（Q從A向B運動）時，則PQ=（2+m）-（m-2）=4，
如圖3中，設(shè)⊙O切AC于H．連接OH．

則AO=2OH=4，AP=4+2=6，
∴2+m=6，
∴m=4．
如圖4中，設(shè)⊙O切BC于N，連接ON．

在Rt△OBN中，OB=$\frac{ON}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AO=10-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AP=12-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴2+m=12-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴m=10-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
綜上所述，當(dāng)m=1或4或10-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$時，⊙O與△ABC的邊相切．

②如圖5中，點F的運動軌跡是F₁→F₂→B．

易知AF₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CF₂=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，AC=5$\sqrt{3}$，
∴F₁F₂=5$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=$\frac{11\sqrt{3}}{6}$，
∵∠FEP=60°，∠PEB=30°，
∴∠FEB=90°，
∴tan∠EBF=$\frac{EF}{EB}$=$\frac{EP}{EB}$為定值，
∴點F的第二段的軌跡是線段BF₂，
在Rt△BF₂C中，BF₂=$\sqrt{B{C}^{2}+{F}_{2}{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{7}$，
∴點F的運動路徑的長為$\frac{11}{6}$$\sqrt{3}$+$\frac{5}{2}$$\sqrt{7}$．

點評 本題考查圓綜合題、直線與圓相切的條件、銳角三角函數(shù)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會用方程的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．