Question

如圖，已知點D為等邊△ABC中AC邊上一點，點E為AB邊上一點，且CD=AE．過點E作EF⊥BD于點F，BD與CE交于點P．求證：PF=

1

2

PE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：證明題

分析：由三角形ABC為等邊三角形得到AC=BC，且∠A=∠ACB=60°，再有AE=CD，利用SAS得到三角形AEC與三角形CDB全等，利用全等三角形的對應角相等得到∠ACE=∠CBD，再有∠ACB=∠ACE+∠ECB=60°，等量代換及利用外角性質(zhì)得到∠EPB=60°，進而確定出∠PEF為30°，在直角三角形PEF中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半即可得證．

解答：證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
在△AEC和△CDB中，

AE=CD ∠A=∠ACB=60° AC=CB

，
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴∠ACE=∠CBD，
∵∠ACE+∠ECB=60°，
∴∠CBD+∠ECB=60°，
∵∠EPB為△PBC的外角，
∴∠EPB=60°，
∴在Rt△EFP中，∠PEF=30°，
則PF=

1

2

PE．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．