Question

18．如圖，在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m為常數(shù)，且m＞0）第一象限內(nèi)圖象上取一點(diǎn)P₁，連接OP₁，過P₁作P₁A₁⊥x軸，垂足為A₁；在OA₁的延長線上截取A₁B₁=OA₁，過B₁作OP₁的平行線交反比例函數(shù)的圖象于P₂，過P₂作P₂A₂⊥x軸，垂足為A₂；在OA₂的延長線上截取A₂B₂=B₁A₂，連接P₁B₁，P₂B₂，則$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{O{B}_{1}}$的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$m
• C． （$\sqrt{2}$-1）m
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 設(shè)P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，$\frac{m}{a}$），P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，$\frac{m}$），由△OP₁B₁，△B₁P₂B₂均為等腰三角形，可得OA₁=a，OB₁=2a，B₁A₂=b-2a，B₁B₂=2（b-2a），由OP₁∥B₁P₂，易證得Rt△P₁OA₁∽R(shí)t△P₂B₁A₂，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得a=（$\sqrt{2}$-1）b，繼而求得答案．

解答 解：設(shè)P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，$\frac{m}{a}$），P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，$\frac{m}$），
∵△OP₁B₁，△B₁P₂B₂均為等腰三角形，
∴A₁B₁=OA₁，A₂B₂=B₁A₂，
∴OA₁=a，OB₁=2a，B₁A₂=b-2a，B₁B₂=2（b-2a），
∵OP₁∥B₁P₂，
∴∠P₁OA₁=∠A₂B₁P₂，
∴Rt△P₁OA₁∽R(shí)t△P₂B₁A₂，
∴OA₁：B₁A₂=P₁A₁：P₂A₂，
即a：（b-2a）=$\frac{m}{a}$：$\frac{m}$，
整理得a²+2ab-b²=0，
解得：a=（$\sqrt{2}$-1）b或a=（-$\sqrt{2}$-1）b（舍去），
∴B₁B₂=2（b-2a）=（6-4$\sqrt{2}$）b，
∴$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{O{B}_{1}}$=$\frac{（6-4\sqrt{2}）b}{2（\sqrt{2}-1）b}$=$\sqrt{2}$-1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．