Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，關(guān)于y軸對稱的拋物線 與x軸交于A、B 兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，P是這條拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上），且點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)在x軸上，D（0，3）是y軸上的一點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若E、F是 y 軸負(fù)半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E 在點(diǎn)F的上面），且EF＝2，當(dāng)四邊形PBEF的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；

（3）若Q是線段AC上一點(diǎn),且，M是直線DQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)存在一點(diǎn)N，使得以 O、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請你直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線關(guān)于y軸對稱,

∴m－2=0．

∴m=2．

∴拋物線的解析式是.

令y＝0，得.

∴，．

在Rt△中，OC＝1, OB＝,可得∠OBC＝30º.

在Rt△中，OD＝3, OB＝,可得∠OBD＝60º.

∴BC是∠OBD的角平分線.

∴直線BD與x軸關(guān)于直線BC對稱.

因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)在x軸上，

則符合條件的點(diǎn)P就是直線BD與拋物線 的交點(diǎn).

設(shè)直線BD的解析式為.

∴  ∴

∴直線BD的解析式為.

∵點(diǎn)P在直線BD上，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為.

又因?yàn)辄c(diǎn)P 在拋物線上，

∴.

解得.

∴.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

（2）過點(diǎn)P作PG⊥ 軸于G，在PG上截取，連結(jié)AH與軸交于點(diǎn)，在軸的負(fù)半軸上截取.

∵ PH∥EF，，

∴ 四邊形為平行四邊形，有.

又 ∵ 、的長為定值，

∴ 此時(shí)得到的點(diǎn)、使四邊形的周長最小.

∵ OE∥GH，

∴ Rt△∽Rt△.

∴ .

∴ .

∴ .

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）.

（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)是或或.