Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)點D為直線AC下方拋物線上一動點；

①連接CD，是否存在點D，使得AC平分∠OCD？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．

②在①的條件下，若P為拋物線上位于AC下方的一個動點，以P、C、A、D為頂點的四邊形面積記作S，則S取何值或在什么范圍時，相應的點P有且只有2個？

Answer 1

【答案】(1)；(2)①存在，點的橫坐標為；②

【解析】

（1）先求出點A、C坐標，再根據待定系數法求解即可；

（2）①若存在點D，使得AC平分∠OCD，則∠OCA=∠DCA，過點D作DE⊥x軸于點E，交直線AC于點F，如圖1，則DE∥y軸，易得DC=DF，設D（m，），則可用含m的代數式表示出DF，然后根據DC=DF即可得出關于m的方程，解方程即得結果；

②先由①的結論求出點D的坐標和△ACD的面積，然后分點P在直線CD下方時，作PG⊥x軸于點G，交直線CD于點Q，如圖2，利用二次函數的性質求出△PCD的最大面積，進一步即可求出有三個點P時的S的值；點P在直線AD下方時，輔助線作法如圖3，再求出△PAD的最大面積，進而可求出只有一個點P時的S的值，于是可得結果．

解：（1）對，當y=0時，x=4，∴點A（4，0），

當x=0時，y=﹣2，∴點C（0，﹣2），

把A、C兩點代入拋物線得：

，解得：，

∴拋物線的解析式是；

（2）①若存在點D，使得AC平分∠OCD，則∠OCA=∠DCA，

過點D作DE⊥x軸于點E，交直線AC于點F，如圖1，則DE∥y軸，

∴∠OCA=∠DFC，∴∠DCF=∠DFC，∴DC=DF，

設D（m，），則F（m，），

∴，

∴，

解得：（舍去）或，

∴存在點D，使得AC平分∠OCD，且點D的橫坐標是；

（3）對，當x=時，，∴點D的坐標是（，），

此時DF=，△ACD的面積=，

當點P在直線CD下方時，作PG⊥x軸于點G，交直線CD于點Q，如圖2，

∵點C（0，﹣2），D（，），

∴直線CD的解析式為，

設點P的坐標是（n，），則Q（n，），

∴，

∴△PCD的最大面積=，

此時四邊形CPDA的面積=；

當點P在直線AD下方時，作PG⊥x軸于點G，交直線CD于點Q，如圖3，

∵點A（4，0），D（，），

∴直線AD的解析式為，

設點P的坐標是（n，），則Q（n，），

∴，

∴△PAD的最大面積=，

此時四邊形CDPA的面積=；

綜上，當S的取值范圍為，相應的點P有且只有2個．