Question

如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC上一點（與點B、C不重合），連接AE交對角線BD于點F，AE的延長線與DC的延長線相交于點G，連接FC．求證：
（1）∠BEF=∠DCF；
（2）AF²=FE•FG．

Answer 1

分析：（1）利用已知首先證明△ADF≌△CDF，進而得出∠DAF=∠DCF，∠DAF=∠BEF，即可得出答案；
（2）利用已知首先得出∠CGE=∠FCE，進而證明△FCE∽△FGC，即可得出答案．

解答：解：（1）∵在正方形ABCD中，對角線BD，
∴∠BDA=∠BDC，
在△ADF與△CDF中，

AD=CD ∠BDA=∠BDC DF=DF

，
∴△ADF≌△CDF，
∴∠DAF=∠DCF，
∵∠DAF=∠BEF，
∴∠BEF=∠DCF；

（2）∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠CGE，
∵∠BEF=∠DCF；
∵∠BAE=90°-∠DAF，∠FCE=90°-∠DCF，
∴∠BAE=∠FCE，
∴∠CGE=∠FCE，
∴△FCE∽△FGC，
∴

FC

EF

=

FG

FC

，
∵FC=AF，
∴AF²=FE•FG．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已得出∠CGE=∠FCE，進而得出△FCE∽△FGC是解決問題的關(guān)鍵．