Question

16．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2x+k=0．
（1）若方程有實數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）如果k是滿足條件的最大的整數(shù)，且方程x²-2x+k=0一根的相反數(shù)是一元二次方程（m-1）x²-3mx-7=0的一個根，求m的值及這個方程的另一根．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x²-2x+k=0有實數(shù)根，得出4-4k≥0，即可求出k的取值范圍；
（2）先求出k的值，再代入方程x²-2x+k=0，求出x的值，再把x的值的相反數(shù)代入（m-1）x²-3mx-7=0，即可求出m的值．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²-2x+k=0有實數(shù)根，
∴△=b²-4ac=4-4k≥0，
解得：k≤1．
∴k的取值范圍是k≤1；

（2）當(dāng)k≤1時的最大整數(shù)值是1，
則關(guān)于x的方程x²-2x+k=0是x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
∵方程x²-2x+k=0一根的相反數(shù)是一元二次方程（m-1）x²-3mx-7=0的一個根，
∴當(dāng)x=-1時，（m-1）+3m-7=0，
解得：m=2．
則原方程為x²-6x-7=0，
解得x₁=7，x₂=-1，方程的另一根是7．
答：m的值是2．方程的另一根是7．

點(diǎn)評 此題主要考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程有實數(shù)根，求出k的值；一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．