Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，點E在AD上，點F在DC上，且∠BEF=∠A．
（1）∠BEF=______（用含α的代數式表示）；
（2）當AB=AD時，猜想線段EB、EF的數量關系，并證明你的猜想；
（3）當AB≠AD時，將“點E在AD上”改為“點E在AD的延長線上，且AE＞AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他條件不變（如圖），求的值（用含m，n的代數式表示）

Answer 1

（1）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，
又∵∠BEF=∠A，
∴∠BEF=∠A=180°-2α；
故答案為：180°-2α；

（2）EB=EF．
證明：連接BD交EF于點O，連接BF．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，∠ADC=180°-∠C=180°-α．
∵AB=AD，
∴∠ADB=（180°-∠A）=α，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α，
由（1）得：∠BEF=180°-2α=∠BDC，
又∵∠EOB=∠DOF，
∴△EOB∽△DOF，
∴，
即，
∵∠EOD=∠BOF，
∴△EOD∽△BOF，
∴∠EFB=∠EDO=α，
∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB，
∴EB=EF；

（3）解：延長AB至G，使AG=AE，連接GE，
則∠G=∠AEG===α，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC，
∴∠EDF=∠G，
∵∠BEF=∠A，
∴∠BEF=∠GBC，
∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，
即∠EBG=∠FED，
∴△DEF∽△GBE，
∴，
∵AB=mDE，AD=nDE，
∴AG=AE=（n+1）DE，
∴BG=AG-AB=（n+1）DE-mDE=（n+1-m）DE，
∴==n+1-m．
分析：（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根據平行線的性質，易求得∠A的度數，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度數；
（2）首先連接BD交EF于點O，連接BF，由AB=AD，易證得△EOB∽△DOF，根據相似三角形的對應邊成比例，可得，繼而可證得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的對應角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF；
（3）首先延長AB至G，使AG=AE，連接BE，GE，易證得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得的值．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、梯形的性質以及等腰三角形的判定與性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．