Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，連結(jié)DE、BE，且
∠C=∠BED．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若OA=2

5

，AD=8，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理

專(zhuān)題：

分析：（1）首先證明∠BAD=∠C，然后證明∠C+∠AOC=90°，即可證得∠OAC=90°，即OA⊥AC，從而得證；
（2）根據(jù)∠OAF=∠C，則這兩個(gè)角的正弦值相等，即可列出比例式求得AC的長(zhǎng)．

解答：解：（1）證明：∵∠BED=∠BAD，∠C=∠BED
∴∠BAD=∠C 
∵OC⊥AD于點(diǎn)F，
∴∠BAD+∠AOC=90°
∴∠C+∠AOC=90°
∴∠OAC=90°
∴OA⊥AC
∴AC是⊙O的切線．
（2）∵OC⊥AD于點(diǎn)F，∴AF=

1

2

AD=4
Rt△OAF中，OF=

OA2-AF2

=2，
∵∠OAF=∠C
∴sin∠OAF=sin∠C，
∴

OF

OA

=

AF

AC

即 AC=

OA•AF

OF

=4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定方法，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．