Question

3．如圖，在Rt△ABC中，AB=1，∠ACB=30°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，以點(diǎn)D為圓心，以AD的長為半徑作$\widehat{AB}$，則圖中陰影部分的面積是$\frac{3\sqrt{3}-5}{6}$π+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 連接BD，解直角三角形得到AC=2，BC=$\sqrt{3}$，由點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，得到AD=BD=AB=CD，求得∠ADB=60°，然后根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：連接BD，在Rt△ABC中，AB=1，∠ACB=30°，
∴AC=2，BC=$\sqrt{3}$，
∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴AD=BD=AB=CD，
∴∠ADB=60°，
∴⊙O的半徑=$\frac{1+\sqrt{3}-2}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴S_陰影=S_扇形ABD-S_△ABD+S_△ABC-S_圓O=$\frac{60•π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$-（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）²π=$\frac{3\sqrt{3}-5}{6}$π+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}-5}{6}$π+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了扇形的面積，解直角三角形，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．