Question

如圖，在Rt△ABC中，已知O是斜邊AB的中點，CD⊥AB，垂足為D，DE⊥OC，垂足為E．若AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長度中，不一定是有理數(shù)的為（　　）

• A、OD
• B、OE
• C、DE
• D、AC

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：由于∠ACB=90°，AB=AD+BD，AD、DB和CD都是有理數(shù)，OC是中線，那么AB是有理數(shù)，且OA=OB=OC=

1

2

AB，
于是OA、OB、OC是有理數(shù)，根據(jù)圖可知OD=OA-AD，那么OD是有理數(shù)；又在△CDO中，∠CDO=90，DE⊥OC，
于是△OED∽△ODC，利用相似三角形的性質(zhì)可得OE：OD=OD：OC，DE：OD=CD：OC，從而可知OE、DE是有理數(shù)．

解答：解：因AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，所以，OA=OB=OC=

AD+BD

2

是有理數(shù)．于是，OD=OA-AD是有理數(shù)．
∵CD⊥AB，DE⊥OC，
∴Rt△DOE∽Rt△COD，
∴OE=

OD2

OC

，DE=

DC?DO

OC

都是有理數(shù)，
而AC=

AD?AB

不一定是有理數(shù)．
故選：C．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、有理數(shù)的加減乘除運算、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．注意幾個有理數(shù)的加減乘除的結(jié)果還是有理數(shù)．