Question

要做20個(gè)矩形鋼框，每個(gè)由2.2米和1.5米的鋼材各兩根組成，已知原鋼材長4.6米，應(yīng)如何下料，使用的原鋼材最��？

Answer 1

分析：要做成20個(gè)矩形的鋼框，就需要2.2米和1.5米的鋼材各40根，先后列出表格表示出三種方案，列出數(shù)學(xué)模型后討論即可得出最佳方案．

解答：解：要做成20個(gè)矩形的鋼框，就需要2.2米和1.5米的鋼材各40根．一種簡單的想法是：在每一根原料上截取2.2米和1.5米的鋼材各一根，這樣每根原鋼材剩下0.9米的料頭，要做20個(gè)鋼框，就要用原鋼材40根，而剩下的料頭總數(shù)為0.9×40=36米．
顯然，上述想法，浪費(fèi)材料，不太合理．因此，我們可以考慮合理套裁，就可以節(jié)省原料．下面有三種下料方案可供采用．

方案 每根下料數(shù)/根 長度/米	I	Ⅱ	Ⅲ
2.2	0	2	1	（共需40根）
1.5	3	0	1	（共需40根）
合計(jì)	4.5	4.4	3.7
料頭	0.1	0.2	0.9

為了省料而得到20個(gè)鋼框，需要混合使用各種下料方案，
設(shè)用第Ⅰ種方案下料的原材料根數(shù)為x₁；用第Ⅱ種方案下料的原材料根數(shù)為x₂；用第Ⅲ種方案下料的原材料根數(shù)為x₃．
所謂原材料最省，也就是使所剩下的料頭總和最少，
為此根據(jù)表28.2的方案，可以列出以下的數(shù)學(xué)模型：y=0.1x₁+0.2x₂+0.9x₃，

2x2+x3= 40 3x1+x3=40

，
解之得：x₁=

40 -x3

3

，x₂=

40-x3

2

，
其中0≤x₃≤40．把x₁，x₂代入y得：y=

1

10

×

40-x3

3

+

2

10

×

40-x3

2

+

9

10

x3=

1

30

（160+23x₃），
可以看出，x₃越大，y的值也越大，所以x₃的取值應(yīng)盡量�。�
當(dāng)x₃=0時(shí)，可取x₁=14，x₂=20；
當(dāng)x₃=1時(shí)，x₁=13，x₂=20，都是用原材料34根；
料頭的總數(shù)為：y=34×4.6-（2.2+1.5）×40=8.4（米）．
所以，原材料最省的下料方案是：按方案Ⅰ下料13（或14）根，用方案Ⅱ下料20根，用方案Ⅲ下料1（或0）根，這樣只需34根原材料就可做出20個(gè)鋼框．

點(diǎn)評：本題考查優(yōu)選方案的知識，難度較大，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，然后討論得出答案．