Question

【題目】已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

（1）求此拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)是軸上方拋物線上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連結(jié).設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

①試用含的代數(shù)式表示的長；

②直線能否把分成面積之比為1：2的兩部分？若能，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

（3）如圖2，若點(diǎn)也在此拋物線上，問在軸上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；（2）①；②能，理由見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：或.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，然后把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①先利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達(dá)式，再設(shè)出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，然后分點(diǎn)D在y軸右側(cè)和y軸左側(cè)利用或列式化簡即可；

②根據(jù)題意容易判斷：點(diǎn)D在y軸左側(cè)時，不存在這樣的點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)D在y軸右側(cè)時，分或兩種情況，設(shè)出E、F坐標(biāo)后，列出方程求解即可；

（3）先求得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，然后連接CM，過點(diǎn)N作NG⊥CM交CM的延長線于點(diǎn)G，即可判斷∠MCN=45°，則點(diǎn)C即為符合題意的一個點(diǎn)Q，所以另一種情況的點(diǎn)Q應(yīng)為過點(diǎn)C、M、N的⊙H與y軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)圓周角定理的推論、等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出CQ的長，進(jìn)而可得結(jié)果.

解：（1）∵拋物線與軸交于點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，

把點(diǎn)代入并求得：，

∴拋物線的表達(dá)式為：，

即，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；

（2）①設(shè)直線的表達(dá)式為：，則，解得：，

∴直線的表達(dá)式為：，

設(shè)，則，

當(dāng)時，∴，

當(dāng)時，，

綜上：，

②由題意知：當(dāng)時，不存在這樣的點(diǎn)；

當(dāng)時，或，

∵，∴，

∴，解得（舍去），∴，

或，解得（舍去），（舍去），

綜上，直線能把分成面積之比為1：2的兩部分，且點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∴，

連接MC，如圖，∵C（0，6），M（1，6）∴MC⊥y軸，過點(diǎn)N作NG⊥CM交CM的延長線于點(diǎn)G，∵N（2，4），∴CG=NG=2，∴△CNG是等腰直角三角形，∴∠MCN=45°，則點(diǎn)C即為符合題意的一個點(diǎn)Q，∴另一種情況的點(diǎn)Q應(yīng)為過點(diǎn)C、M、N的⊙H與y軸的交點(diǎn)，連接HN，

∵，∴MN=，CM=1，

∵，∴∠MHN=90°，則半徑MH=NH=，

∵∠MCQ=90°，∴MQ是直徑，且，∴，

∵OC=6，∴OQ=3，∴Q（0，3）；

綜上，在軸上存在點(diǎn)，使，且點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：或.