Question

【題目】已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數(shù)圖象上的點，當(dāng)四邊形ABCD(A、B、C、D各點依次排列)為正方形時，稱這個正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形.例如：如圖l，正方形ABCD是一次函數(shù)圖象的其中一個伴侶正方形.

(1)若某函數(shù)是一次函數(shù)，直接寫出它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；

(2)若某函數(shù)是反比例函數(shù)(k>0)，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點D(3，m)(m<3)在這個反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；

(3)若某函數(shù)是二次函數(shù)(a≠0)，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個點坐標(biāo)為(4，5).直接寫出所有伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標(biāo)及相應(yīng)的拋物線解析式.

Answer 1

【答案】(1)或2；(2)m的值為，反比例函數(shù)解析式為；(3)見解析.

【解析】

（1）先正確地畫出圖形，再利用正方形的性質(zhì)確定相關(guān)點的坐標(biāo)從而計算正方形的邊長，注意思維的嚴(yán)密性．
（2）因為ABCD為正方形，所以可作垂線得到等腰直角三角形，利用點D（2，m）的坐標(biāo)表示出點C的坐標(biāo)從而求解．
（3）注意思維的嚴(yán)密性，拋物線開口既可能向上，也可能向下．當(dāng)拋物線開口向上時，正方形的另一個頂點也是在拋物線上，這個點既可能在點(4，5)的左邊，也可能在點(4，5)的右邊，過點(4，5)向x軸作垂線，利用全等三角形確定線段的長即可確定拋物線上另一個點的坐標(biāo)；當(dāng)拋物線開口向下時也是一樣地分為兩種情況來討論．

(1)(I)當(dāng)點A在x軸正半軸、點B在y軸負(fù)半軸上時：

正方形ABCD的邊長為.

(II)當(dāng)點A在x軸負(fù)半軸、點B在y軸正半軸上時：

設(shè)正方形邊長為a,易得

解得a=,此時正方形的邊長為.

∴所求“伴侶正方形”的邊長為或；

(2)如圖，作DE⊥x軸，CF⊥y軸，垂足分別為點E.F，

易證△ADE≌△BAO≌△CBF.

∵點D的坐標(biāo)為(3,m)，m<3，

∴DE=OA=BF=m，

∴OB=AE=CF=3m.

∴OF=BF+OB=3，

∴點C的坐標(biāo)為(3m,3).

∴3m=3(3m)，解得m=.

∴反比例函數(shù)的解析式為.

(3)另一個頂點坐標(biāo)為(9，－4)，拋物線解析式為；

另一個頂點坐標(biāo)為(－l，4)，拋物線解析式為；

另一個頂點坐標(biāo)為(－5，9)，拋物線解析式為；

另一個頂點坐標(biāo)為(5，1)，拋物線解析式為.