Question

把兩個全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠B=∠F=30°，斜邊AB和EF長均為4．
（1）當(dāng)EG⊥AC于點(diǎn)K，GF⊥BC于點(diǎn)H時（如圖①），求GH：GK的值；
（2）現(xiàn)將三角板EFG由圖①所示的位置繞O點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜30°（如圖②），EG交AC于點(diǎn)K，GF交BC于點(diǎn)H，GH：GK的值是否改變？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
（3）在②下，連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)GH=x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（4）三角板EFG由圖①所示的位置繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)時，0°＜α≤90°，是否存在某位置使△BFG是等腰三角形？若存在，請直接寫出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)30°的直角三角形的三邊關(guān)系，利用已知條件和勾股定理可以求出直角三角形的三邊長度，利用三角形的中位線可以求出GK，和GH的值，可以求出其比值．
（2）作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，利用三角形相似可以求出GH與GK的比值不變．
（3）△GKH是直角三角形，兩直角邊的比知道，可以把GK也用x的式子表示出來，最后直接利用三角形的面積公式就可以求出函數(shù)的解析式．
（4）當(dāng)逆時針旋轉(zhuǎn)30°或90°時，如圖就可以證明△EGH≌△FBH，得到∠GEK=∠GFB，從而得到∠FGB=∠GFB，得到邊相等，得出結(jié)論，旋轉(zhuǎn)90°時 也是得出∠BGF=∠F，而得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵∠ACB=∠EGF=90°，∠B=∠F=30°
∴AC=

1

2

AB，EG=

1

2

EF
∵AB=EF=4
∴AC=EG=2，在Rt△ACB和Rt△EGF中，由勾股定理得
BC=GF=2

3

∵GE⊥AC，GF⊥BC
∴GE∥BC，GF∥AC
∵G是AB的中點(diǎn)
∴K，H分別是AC、CB的中點(diǎn)
∴GK，GH是△ABC的中位線
∴GK=

1

2

BC=

3

GH=

1

2

AC=1
∴GH：GK=1；

3

（2）不變，
理由如下：作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，
∴∠GMC=∠GNH=90°由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：
∠2=∠1
∴△GMK∽△GNH
∴

GH

GK

=

GN

GM

∵GN：GM=1：

3

∴GH：GK=1：

3

∴旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜30°時，GH：GK的值比值不變．


（3）連接KH，∵∠EGH=90°
∴S_△KGH=

GH•GK

2

∵GH=x，且GH：GK=1：

3

∴x：GK=1：

3

∴GK=

3

x
∴y=

x• 3 x

2

y=

3

2

x2（1＜x＜

2 3

3

），


（4）存在，如下圖，當(dāng)α=30°或α=90°時，△BFG是等腰三角形．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用．