Question

如圖：正方形ABCD的邊長是a，點M是AB的中點，CN=CD，P是直線AC上的一點，則|PM-PN|的最大值=    ．

Answer 1

【答案】分析：找出M關于直線AC的對稱點M′，連接M′N并延長與直線AC交于點Q，若P運動到Q位置時，所求式子最大，此時最大值為M′N的長，理由為：當P在其他位置時，連接PM與PN，及PM′，根據線段垂直平分線定理得到PM=PM′，在三角形PM′N中，根據三角形的兩邊之差小于第三邊可得M′N最大，由M為AB中點，根據對稱性得到M為AD中點，進而表示出M′D的長，再由CN的長表示出DN的長，在直角三角形M′DN中，根據勾股定理即可表示出M′N的長，即為所求式子的最大值．
解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：

作出M關于直線AC的對稱點M′，連接M′N，并延長M′N與直線AC交于點Q，
當P運動到Q位置時，|PM-PN|=QM′-QN=M′N最大，理由為：
任意在直線AC上取一點P，連接PM，PN，PM′，有PM=PM′，
在△PM′N中，PM-PN=PM′-PN＜M′N，故M′N最大；
由AC為線段MM′的垂直平分線，得到AM=AM′，
又正方形ABCD，得到∠BAD=∠D=90°，且AB=AD=DC=BC=a，
∴△MAM′為等腰直角三角形，又AM=BM=AB=a，
則有AM′=AM=a，且M′D=a，
又CN=a，則有DN=a，
在Rt△M′DN中，
根據勾股定理得：M′N==a，
則|PM-PN|的最大值為a．
故答案為：a
點評：此題考查了軸對稱-最短路線的問題，涉及的知識有對稱性質，三角形的三邊關系：兩邊之差小于第三邊，正方形的性質，以及勾股定理，利用了數形結合的思想．本題的難點為找出所求式子取得最大值時P點的位置，方法是借助圖形作出M關于直線AC的對稱點M′，延長M′N與直線AC交于點Q，當P運動到Q位置時，|PM-PN|最大，同時要求學生弄清所求式子取得最大的理論依據為三角形的兩邊之差小于第三邊．