Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于），兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．

（1）求該拋物線的解析式，并寫出它的對稱軸；

（2）點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，連接，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）已知，若是拋物線上一個(gè)動點(diǎn)（其中），連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

（4）若點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），對稱軸；（2）；（3）面積有最大值是，；（4）存在點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，或或.

【解析】

（1）將點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+2即可；

（2）過點(diǎn)D作DG⊥y軸于G，作DH⊥x軸于H，設(shè)點(diǎn)D（1，y），在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=（2-y）2+1，在Rt△BHD中，BD2=BH2+HD2=4+y2，可以證明CD=BD，即可求y的值；

（3）過點(diǎn)E作EQ⊥y軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)F作直線FR⊥y軸于R，過點(diǎn)E作FP⊥FR于P，證明四邊形QRPE是矩形，根據(jù)S△CEF=S矩形QRPE-S△CRF-S△EFP，代入邊即可；

（4）根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)可以得到存在點(diǎn)M使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)M（2，2）或M（4，- ）或M（-2，-）；

解：（1）將點(diǎn)代入，

可得，

；

對稱軸；

（2）如圖1：過點(diǎn)作軸于，作軸于，

設(shè)點(diǎn)，

，

在中，，

在中，，

在中，

，

，

；

（3）如圖2：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸于，過點(diǎn)作于，

，

四邊形是矩形，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，面積有最大值是，

此時(shí)；

（4）存在點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

設(shè)，

①四邊形是平行四邊形時(shí)，

②四邊形時(shí)平行四邊形時(shí)，

，

；

③四邊形時(shí)平行四邊形時(shí)，

，

，

；

綜上所述：或或；