Question

7．A，B兩地被大山阻隔，若要從A地到B地，只能沿著如圖所示的公路先從A地到C地，再由C地到B地．現(xiàn)計劃開鑿隧道A，B兩地直線貫通，經(jīng)測量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道開通后與隧道開通前相比，從A地到B地的路程將縮短多少？（結(jié)果精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 過點C作CD⊥AB與D，根據(jù)AC=20km，∠CAB=30°，求出CD、AD，根據(jù)∠CBA=45°，求出BD、BC，最后根據(jù)AB=AD+BD列式計算即可．

解答 解：過點C作CD⊥AB與D，
∵AC=20km，∠CAB=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×20=10km，
AD=cos∠CAB•AC=cos∠30°×20=10$\sqrt{3}$km，
∵∠CBA=45°，
∴BD=CD=10km，BC=$\sqrt{2}$CD=10$\sqrt{2}$≈14.14km
∴AB=AD+BD=10$\sqrt{3}$+10≈27.32km．
則AC+BC-AB≈20+14.14-27.32≈6.8km．
答：從A地到B地的路程將縮短6.8km．

點評 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，用到的知識點是三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，求出有關(guān)線段的長．