Question

4．如圖，線段AB與射線BC的夾角為30°，點O是AB上一動點，以點O為圓心，OA為半徑作⊙O，交線段AB于另一點D，過點O作OE⊥BC于點E，過點D作直線DF⊥BC于點F，交⊙O于另一點G．
（1）探究當(dāng)點O運動時，點G運動的軌跡是否有規(guī)律？請說明理由．
（2）連接DE，探究四邊形DEOG是否能夠成為菱形？如果可以，請判斷點O此時的位置以及⊙O與BC的位置關(guān)系，并說明理由．如果不可以，也請解釋原因．

Answer 1

分析 （1）連接AG，由直徑所對的圓周角為90°可得出AG⊥GD，再結(jié)合DF⊥BC利用“垂直于同一直線的兩直線平行”即可得出AG∥BC；
（2）連接DE，由（1）的結(jié)論即可得出GD=$\frac{1}{2}$AD，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出OE=GD=$\frac{1}{2}$AD，進(jìn)而得出⊙O與BC相切與點E，結(jié)合∠ABC=30°，即可得出OA=$\frac{1}{3}$AB．

解答 解：（1）如圖1，連接AG，AG∥BC，理由如下：
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠AGD=90°，
∴AG⊥GD，
∵DF⊥BC，
∴AG∥BC．
（2）當(dāng)OA=$\frac{1}{3}$AB時，⊙O與BC相切，四邊形DEOG可以成為菱形．理由如下：
連接DE，如圖2所示．
∵∠ABC=30°，∠AGD=90°，
∴GD=$\frac{1}{2}$AD．
要使四邊形DEOG成為菱形，則GD與OE平行且相等，
∴OE=$\frac{1}{2}$AD，即OE為⊙O的半徑，⊙O與BC相切與點E．
又∵∠ABC=30°，
∴OE=OA=$\frac{1}{2}$OB，即OA=$\frac{1}{3}$AB．

點評 本題考查了菱形的判定、直線與圓的位置關(guān)系以及特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)平行線的判定證出AG∥BC；（2）找出四邊形DEOG為菱形時點O的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合更形象直觀．