Question

11．如圖，已知二次函數(shù)y=$a{x}^{2}+\frac{3}{2}x+c$的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B，C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），連接AB、AC．
（1）請(qǐng)直接寫出二次函數(shù)y=$a{x}^{2}+\frac{3}{2}x+c$的表達(dá)式；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）令二次函數(shù)解析式中y=0，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式求出線段AB、AC、BC的長度，由三者滿足AB²+AC²=BC²即可得出△ABC為直角三角形；
（3）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，0），由兩點(diǎn)間的距離公式分別求出線段AN、AC、NC的長度，分AC=AN、AC=CN以及AN=CN來討論，由線段相等得出關(guān)于m的方程，解方程求出m值，由此即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0）（-2＜n＜8），通過分割圖形法求面積，再根據(jù)相似三角形面積間的關(guān)系以及三角形的面積公式即可得出S_△AMN關(guān)于n的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（0，4）、C（8，0）代入y=$a{x}^{2}+\frac{3}{2}x+c$中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4=c}\\{0=64a+12+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴該二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x+4．
（2）令y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x+4中y=0，則-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x+4=0，
解得：x=-2，或x=8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0），
又∵點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)C（8，0），
∴AB=2$\sqrt{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，BC=10．
∵AB²+AC²=20+80=100=BC²，
∴△ABC為直角三角形．
（3）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，0），
則AC=4$\sqrt{5}$，AN=$\sqrt{（0-m）^{2}+（4-0）^{2}}$，CN=|8-m|．
以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形分三種情況：
①當(dāng)AC=AN時(shí)，即4$\sqrt{5}$=$\sqrt{（0-m）^{2}+（4-0）^{2}}$，
解得：m=-8，或m=8（舍去），
此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-8，0）；
②當(dāng)AC=CN時(shí)，即4$\sqrt{5}$=|8-m|，
解得：m=8-4$\sqrt{5}$，或m=8+4$\sqrt{5}$，
此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（8-4$\sqrt{5}$，0）或（8+4$\sqrt{5}$，0）；
③當(dāng)AN=CN時(shí)，即$\sqrt{（0-m）^{2}+（4-0）^{2}}$=|8-m|，
解得：m=3，
此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，0）．
綜上可知：以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-8，0）、（8-4$\sqrt{5}$，0）、（8+4$\sqrt{5}$，0）或（3，0）．
（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0）（-2＜n＜8），則BN=n-（-2）=n+2．
∵M(jìn)N∥AC，
∴△BMN∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△BMN}}{{S}_{△BAC}}$=$（\frac{BN}{BC}）^{2}$．
∵S_△BAC=$\frac{1}{2}$AB•AC=20，BN=n+2，BC=10，
∴S_△BMN=S_△BAC•$（\frac{BN}{BC}）^{2}$=$\frac{1}{5}（n+2）^{2}$．
S_△AMN=S_△ABN-S_△BMN=$\frac{1}{2}$AO•BN-$\frac{1}{5}（n+2）^{2}$=-$\frac{1}{5}$（n-3）²+5，
∴當(dāng)n=3，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，0）時(shí)，△AMN面積最大，最大值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的判定定理、相似三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）求出三角形三邊長度；（3）分情況考查三角形何時(shí)為等腰三角形；（4）利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程較繁瑣，解決該題型題目時(shí)，時(shí)常用到兩點(diǎn)間的距離公式來求線段的長度，在日常的練習(xí)中應(yīng)對(duì)此類問題多加練習(xí)．