Question

13．如圖，D、E分別是△ABC的邊BC和AB上的點(diǎn)，△ABD與△ACD的周長(zhǎng)相等，△CAE與△CBE的周長(zhǎng)相等，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，給出以下幾個(gè)結(jié)論：
①如果AD是BC邊中線，那么CE是AB邊中線；
②AE的長(zhǎng)度為$\frac{c+a-b}{2}$；
③BD的長(zhǎng)度為$\frac{b+a-c}{2}$；
④若∠BAC=90°，△ABC的面積為S，則S=AE•BD．
其中正確的結(jié)論是②③④（將正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 由中線的定義，可得到AB=AC，但AB=AC時(shí)未必有AC=BC，可判斷①；△ABD與△ACD的周長(zhǎng)相等，我們可得出：AB+BD=AC+CD，等式的左右邊正好是三角形ABC周長(zhǎng)的一半，有AB，AC的值，那么就能求出BD的長(zhǎng)了，同理可求出AE的長(zhǎng)，可判斷②③；把AE和BD代入計(jì)算，結(jié)合勾股定理可求得S，可判斷④；則可得出答案．

解答 解：
當(dāng)AD是BC邊中線時(shí)，則BD=CD，
∵△ABD與△ACD的周長(zhǎng)相等，
∴AB=AC，
但此時(shí)，不能得出AC=BC，即不能得出CE是AB的中線，
故①不正確；
∵△ABD與△ACD的周長(zhǎng)相等，BC=a，AC=b，AB=c，
∴AB+BD+AD=AC+CD+AD，
∴AB+BD=AC+CD，
∵AB+BD+CD+AC=a+b+c，
∴AB+BD=AC+CD=$\frac{a+b+c}{2}$．
∴BD=$\frac{a+b+c}{2}$-c=$\frac{a+b-c}{2}$，
同理AE=$\frac{a+c-b}{2}$，
故②③都正確；
當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，則b²+c²=a²，
∴AE•BE=$\frac{a+c-b}{2}$×$\frac{a+b-c}{2}$=$\frac{1}{4}$[a-（c-b）][a-（c-b）]=$\frac{1}{4}$[a²-（c-b）²]=$\frac{1}{4}$[a²-（c²+b²-2bc）]=$\frac{1}{4}$×2bc=$\frac{1}{2}$bc=S，
故④正確；
綜上可知正確的結(jié)論②③④，
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題為三角形的綜合應(yīng)用，主要考查了三角形各邊之間的關(guān)系問(wèn)題及三角形的面積，在列式子的時(shí)候要注意找出等量關(guān)系，難度適中．